점의 회전이동

이것을 공부하면 어느 점이 좋을까?: 도형의 형태를 유지하면서 옮기는 '절차'를 고급지게 말하면 '등장사상'이 된다. 임의의 등장사상은 평행이동과 회전이동의 합성으로 표기할 수 있다. 즉, 도형의 평행이동을 공부한 사람들이 도형의 회전이동까지 공부하면 등장사상을 익힐 수 있는 사전지식이 하나 더 갖추어진다. 그리고 도형의 회전이동 그 자체만으로도 흥미로운 계산을 할 수 있으니 좋은 점이 많다. 애석하게도 도형의 회전이동을 익히기 위해서는 점의 회전이동부터 알아야 한다. 구글에 점의 회전이동을 치면 다양한 페이지가 나오지만, 공부하는 사람이 참고할 수 있는 설명이 다양하면 좋기에 굳이 글 하나를 더 포스팅한다. 말이 길었다. 가독성이 나쁘지 않기를 바랄 뿐이다.

 

벡터를 생각하자: $xy$평면에 점 $\rm A (\it a,b \rm)$가 있다고 가정하자. 우리는 이 점을 $\theta$만큼 회전시킨 점의 좌표를 구해야한다. 새로운 점을 $A_{\theta}$라 하자. 극좌표로 변환해서 계산하는 방법도 있고, 삼각함수의 덧셈정리를 이용하는 방법도 있지만, 우리는 벡터를 생각할 것이다. 원점에서 점 $\rm A$를 잇는 벡터 $\vec{r}=(a,b)$를 생각하자. 그러면 이 벡터는 수평방향과 수직방향으로 분해할 수 있다. 원래 벡터를 회전시킨 벡터와 분해한 벡터 각각을 회전시킨 다음에 다시 더한 벡터가 같다는 것은 머릿속에서 쉽게 상상할 수 있고, 그림으로 참고하면 더 직관적으로 이해할 수 있을 것이다.

벡터를 이용한 점의 회전이동

수평방향과 수직방향으로 나누어 돌리자: 벡터 $\vec{r}$의 수평방향 벡터를 $\vec{r_x}$라 하면 $\vec{r_x}=(a,0)$이다. 이 수평방향 벡터를 $\theta$만큼 회전시킨 새로운 벡터를 $\vec{s_x}$라 하면 삼각함수의 정의에 의해 $\vec{s_x}=(a \cos \theta,  a \sin \theta)$가 된다. 수직방향 벡터도 마찬가지로 해보자. 벡터 $\vec{r}$의 수직방향 벡터를 $\vec{r_y}$라 하면 $\vec{r_y}=(0,b)$이다. 이 수직방향 벡터를 $\theta$만큼 회전시킨 새로운 벡터를 $\vec{s_y}$라 하면 삼각함수의 정의에 의해 $\vec{s_y}=(-b \sin \theta,  b \cos \theta)$가 된다. 벡터 $\vec{r}$를 $\theta$만큼 회전시킨 벡터를 $\vec{s}$라 하면, 분명히 $\vec{s}=\vec{s_x}+\vec{s_y}$이다. 위에서 계산한 식을 대입하자. $\vec{s}=(a \cos \theta-b \sin \theta,  a \sin \theta +b \cos \theta)$이다. 시점이 원점이므로 종점은 $(a \cos \theta-b \sin \theta,  a \sin \theta +b \cos \theta)$이고, 이것이 우리가 구하고자 하는 회전된 점 $A_{\theta}$의 좌표다.

 

$\vec{r_x}$를 $\theta$만큼 회전시킨 그림	$\vec{r_y}$를 $\theta$만큼 회전시킨 그림

 

새로운 언어, 행렬: 점의 회전이동에서 모든 이야기를 마무리 지으려면 여기까지만 해도 괜찮다. 하지만, 도형의 회전이동과 연계하려면 새로운 언어를 도입해야 논의가 간단해진다. 바로 행렬이다. 행렬 없이 도형의 회전이동을 생각하려면 삼각함수가 계수인 (이원)일차연립방정식을 가감법을 이용해서 풀면 된다. 하지만, 좋은 언어가 있는데 쓰지 않을 이유가 없다. $A_{\theta}$의 $x$좌표와 $y$좌표를 각각 $a_{\theta}$, $b_{\theta}$라 하자. 그러면 $a_{\theta}=a \cos \theta-b \sin \theta$이고, $b_{\theta}=  a \sin \theta +b \cos \theta$이다. 이를 행렬로 표기하면 다음과 같다. $$\begin{aligned} \begin{pmatrix} a_{\theta} \\ b_{\theta} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{aligned}$$

 

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이 글을 보는 어떤 사람은 이 내용을 처음 봤을 것이고, 많은 사람들은 예전에 봤던 공식을 다시 떠올렸을 것이다. 어느 쪽이든 이 내용이 낯설면 연습문제를 직접 풀어서 체화시키자. 더 좋은 연습문제를 구해야겠다면 선형대수학 교재를 보면된다.

 

연습문제 1: 점 $(1,0)$을 반시계 방향으로 $\dfrac{\pi}{6}$만큼 회전시킨 점의 좌표를 풀이과정과 함께 구하시오.

구하고자 하는 점의 좌표를 $(x,y)$라 하면 $\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos \dfrac{\pi}{6} & -\sin \dfrac{\pi}{6} \\ \sin \dfrac{\pi}{6} & \cos \dfrac{\pi}{6} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$으로 쓸 수 있다. $\cos \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt 3}{2}$, $\sin \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$이므로 $\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt 3}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt 3}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt 3}{2} \\ \dfrac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$ 즉, 구하고자 하는 점의 좌표는 $\left(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{1}{2}\right)$이다.

 

연습문제 2: 점 $(0,2)$를 반시계 방향으로 $\dfrac{2\pi}{3}$만큼 회전시킨 점의 좌표를 풀이과정과 함께 구하시오.

구하고자 하는 점의 좌표를 $(x,y)$라 하면 $\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos \dfrac{2\pi}{3} & -\sin \dfrac{2\pi}{3} \\ \sin \dfrac{2\pi}{3} & \cos \dfrac{2\pi}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$으로 쓸 수 있다. $\cos \dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$, $\sin \dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt 3}{2}$이므로 $\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt 3}{2} \\ \dfrac{\sqrt 3}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\sqrt{3} \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$ 즉, 구하고자 하는 점의 좌표는 $\left(-\sqrt{3},-1 \right)$이다.

 

연습문제 3: 점 $(3,4)$를 반시계 방향으로 $\dfrac{\pi}{4}$만큼 회전시킨 점의 좌표를 풀이과정과 함께 구하고, 새로운 점도 원점에서 $5$만큼 떨어져 있다는 것을 확인하시오.

구하고자 하는 점의 좌표를 $(x,y)$라 하면 $\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos \dfrac{\pi}{4} & -\sin \dfrac{\pi}{4} \\ \sin \dfrac{\pi}{4} & \cos \dfrac{\pi}{4} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{aligned}$으로 쓸 수 있다. $\cos \dfrac{\pi}{4}=\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt 2}{2}$이므로 $\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt 2}{2} & -\dfrac{\sqrt 2}{2} \\ \dfrac{\sqrt 2}{2} & \dfrac{\sqrt 2}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt 2}{2} \\ \dfrac{7 \sqrt2}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$ 즉, 구하고자 하는 점의 좌표는 $\left(-\dfrac{\sqrt2}{2},\dfrac{7 \sqrt2}{2}\right)$이다. 이 새로운 점과 원점 사이의 거리는 $\sqrt{\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\dfrac{7 \sqrt2}{2}\right)^2}$ $=\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{49}{2}}$ $=\sqrt{25}$ $=5$이다.

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