라그랑지안의 뜻과 형식적 활용

이것을 공부하면 어느 점이 좋을까?: 라그랑지안이 어느 기호로 쓰이는지 알고, 편미분을 할 수 있으면, 다양한 운동을 오해의 여지없이 깔끔하게 분석할 수 있다.

 

라그랑지안의 표기: 라그랑지안이 실세계에서 무엇을 의미하는지 묻는다면 이 글을 쓰고 있는 시점의 나는 할 수 있는 말이 없다. 모른다는 뜻이다. 하지만, 라그랑지안이 운동에너지에서 퍼텐셜에너지를 뺀 개념이라는 사실 정도는 말 할 수 있다. 입자의 질량을 $m$, 라그랑지안을 $L$, 운동에너지를 $T$, 퍼텐셜에너지를 $V$라 하자. 수식으로 표기하면 $L$ $=T-V$ $=\dfrac{1}{2}mv^2-V$이다. 시간에 대한 위치함수를 생각하자. 1차원에 있는 입자의 위치를 $x(t)$로 표기하면 $v=\dot{x}$로 쓸 수 있다. 2차원에 있는 입자의 위치를 $\vec{r(t)}=(x(t),y(t))$로 표기하면 $\vec{v}$ $=\dfrac{d}{dt}\vec{r}(t)$ $=(\dot{x},\dot{y})$이고, $v^2$ $=\vec{v}\cdot\vec{v}$ $=(\dot{x}^2+\dot{y}^2)$으로 쓸 수 있다.

 

즉, 1차원에서의 라그랑지안은 $L$ $=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)$이고,

 

2차원에서의 라그랑지안은 $L$ $=\dfrac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-V(x,y)$이다.

 

운동에너지와 퍼텐셜에너지에 대한 간단한 이야기: 구성 공간 안을 떠돌아다니는 입자의 운동에너지는 대부분의 경우에 매우 전형적이다. 시간에 대한 입자의 위치를 모르므로 그냥 도함수가 포함된 식으로 쓰는 게 최선이다. 입자의 퍼텐셜에너지는 전형적이지 않다. 퍼텐셜에너지 $V$는 $F(X)$ $=-\dfrac{\partial V}{\partial X}$라는 식으로 엮여있으므로 어떤 힘이 작용하느냐에 따라서 다양한 형태로 기술할 수 있다. 참고로 이것은 그래도 실세계와 견주어서 식을 해석할 수 있다. 퍼텐셜에너지를 감소시키려는 그 무언가가 바로 힘의 본질이라고 해석하면 된다. 예시를 들어보자. 높이 $h$인 공중에서 질량 $m$인 공을 놓았다고 생각하자. 그러면 처음에 공은 $V(h)$ $=mgh$라는 퍼텐셜에너지를 갖고 있다. 높이에 따라서 퍼텐셜 에너지는 감소하고 수식으로 표기하면 $F(h)$ $=-\dfrac{\partial V}{\partial h}$ $=-mg$이다. 이렇게 계산된 $-mg$가 바로 지구의 중력이다.

 

오일러-라그랑주 방정식: 라그랑지안을 분석하기 위해서는 도구가 필요하다. 바로 오일러-라그랑주 방정식이다. $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x_i}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial x_i}=0$이 바로 그것이다. 아래첨자가 익숙하지 않은 독자는 이렇게 이해하자.

 

1차원에 있는 입자는 미분방정식 $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial x}=0$ 한 개를 풀면 되고,

 

2차원 $xy$평면에 있는 입자는 미분방정식 $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial x}=0$, $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial y}=0$ 두 개를 풀면 된다.

 

삼차원이면 세 개의 방정식, $n$차원이면 $n$개의 방정식을 풀면 된다.

 

1차원에 있는 용수철의 운동 분석: 위에서 제시한 공식을 이용해 1차원에서 한 가지 운동을 분석하자. 우리는 라그랑지안을 이용해 1차원에 있는 질량 $m$인 용수철의 운동을 분석할 것이다. 실험을 했더니 용수철의 퍼텐셜에너지가 늘어난 길이의 제곱에 비례한다고 관찰했다. $V(x)=cx^2$(단, $c$는 상수)이다. 그러면 라그랑지안 $L$ $=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-cx^2$이다. 편미분을 하자. $\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}$ $=m\dot{x}$이고 $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)$ $=m\ddot{x}$이다. 또한, $\dfrac{\partial L}{\partial x}$ $=-2cx$이다. 즉, 오일러-라그랑주 방정식을 이용해 $m\ddot{x}+2cx=0$로 정리할 수 있으며 좌변에 $\ddot{x}$만 남기면 $\ddot{x}$ $=-\dfrac{2c}{m}x$로 쓸 수 있다. 이 방정식의 해는 $x=A\cos{\sqrt{\dfrac{2c}{m}}t}+B\sin{\sqrt{\dfrac{2c}{m}}t}$이다. 상수 $A,B$는 초기 위치와 초기 속도가 주어지면 계산할 수 있다. 더 중요한 것은 용수철의 위치의 주기가 $\dfrac{2\pi}{\sqrt{2c/m}}$ $=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{2c}}$이라는 것이다. 물리에 조예가 깊은 사람은 $2c$ $=k$라는 것도 눈치챌 수 있을 것이다.

 

이 모든 것은 《물리의 정석: 고전 역학 편》에서: 같은 운동을 분석하면 라그랑주 역학이나 뉴턴 역학이나 (너무나 당연하지만)같은 결론을 준다. 차이점이 있다면 라그랑주 역학에서는 수식만 요령 있게 풀어내면 그림을 그리면서 파악할 수 있는 본질적인 의미에 조금 덜 신경 쓰더라도 올바른 답을 얻을 수 있다는 점이다. 앞으로 시간을 더 내서 책 《물리의 정석: 고전 역학 편》에서 공부한 내용을 정리해야겠다.