라그랑지안을 이용한 진자의 주기 계산

이번 목표는?: 라그랑지안을 처음에 소개하고 대표적인 예시로 1차원 운동을 다루었다. 이번에는 2차원 평면에 있는 진자의 주기를 라그랑지안을 이용해 계산하고자 한다. 결과적으로는 1차원 운동을 분석하는 것이므로, 한 개의 미분방정식만 풀게될거지만 말이다. 전제를 기술하자. 고정된 높이 $h$에 매달려 있는 진자가 있다. 진자의 길이는 $l$이고, 끝에 달려 있는 추의 질량은 $m$이다. 그리고 진자를 약간만 움직이게 하고, 천장과 수직인 방향에 대해 $\theta$만큼 움직이게 한다고 하자.

 

라그랑지안을 기술하자: 시간에 따른 입자의 위치를 $(x,y)$라 하면 기본적으로 생각할 수 있는 라그랑지안은 $L$ $=\dfrac{1}{2}mv^2-V$이다. 2차원에서 생각하므로 $L$ $=\dfrac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-V(x,y)$로 쓰면 되겠다. 입자에게 작용하는 퍼텐셜에너지는 중력에 의한 위치에너지이므로 $V(x,y)$ $=mgy$이다. $x$ $=l\sin{\theta}$이고 $y$ $=h-l\cos{\theta}$이다. 라그랑지안을 $\theta$에 대한 식으로 변환하기 위해서 $x,y$를 각각 $t$에 대해서 미분할 것이다. 합성함수의 미분법에 의해 $\dot{x}$ $=l\dot{\theta}\cos{\theta}$이고, $\dot{y}$ $=l\dot{\theta}\sin{\theta}$이다. 그러면 $\dot{x}^2+\dot{y}^2$ $=l^2\dot{\theta}^2$으로 계산할 수 있다. 이제 퍼텐셜에너지 차례다. $V(x,y)$ $=V(\theta)$ $=mg(h-l\cos{\theta})$이다.

 

위의 설명을 도식화한 그림

 

새로운 라그랑지안은?: 위의 계산결과에 의해 새로운 라그랑지안은 $L=\dfrac{1}{2}m(l^2\dot{\theta}^2)-mg(h-l\cos{\theta})$로 기술할 수 있다. 오일러-라그랑주 방정식은 $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial \theta}=0$으로 주어진다. $\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}$ $=ml^2\dot{\theta}$이므로 $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right)$ $=ml^2\ddot{\theta}$이다. 마찬가지로 재주좋게 편미분하면 $\dfrac{\partial L}{\partial \theta}$ $=-mgl\sin{\theta}$임을 알 수 있다. 식이 정리되었다. $ml^2\ddot{\theta}+mgl\sin{\theta}=0$이다. $\ddot{\theta}$만 좌변에 남기고 모조리 정리하면, $\ddot{\theta}$ $=-\dfrac{g}{l}\sin{\theta}$가 된다.

 

미분방정식을 풀자: 여기에서 우리는 잔재주를 부릴 것이다. 위의 미분방정식을 곧이곧대로 풀고자 한다면 컴퓨터의 도움을 받아야 한다. $\theta$가 충분히 작으면 $\sin{\theta}=\theta$로 근사할 수 있다. $\theta$가 충분히 작을 때, 반지름의 길이가 $1$인 부채꼴을 상상하자. 그러면 호의 길이를 나타내는 $\theta$나 부채꼴 안쪽에 있는 직각삼각형의 높이인 $\sin{\theta}$나 별 차이가 없다. 상상이 여의치 않으면 $\displaystyle{\lim_{\theta \rightarrow 0}{\dfrac{\sin{\theta}}{\theta}}}=1$이라는 공식을 보고 $\theta$가 작으면 $\sin{\theta}=\theta$로 근사시킬 수 있다고 생각하면 된다. 어쨌든, $\theta$가 충분히 작으면 $\ddot{\theta}$ $=-\dfrac{g}{l}\sin{\theta}$ $=-\dfrac{g}{l}\theta$이다. 이 미분방정식의 해는 $\theta=A\cos{\sqrt{\dfrac{g}{l}}t}+B\sin{\sqrt{\dfrac{g}{l}}t}$이다.

 

식을 해석하고 실제적인 결론을 내리자: 이를 통해 우리는 $\theta$가 충분히 작으면 주기가 $\dfrac{2\pi}{\sqrt{g/l}}$ $=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$임을 계산할 수 있다. 해석하자. 흔들리는 각이 충분히 작으면 진자의 주기는 중력가속도와 진자의 길이에만 영향을 받고, 추의 무게는 중요하지 않다. 또한, 주기는 $\sqrt{l}$에 비례하므로 주기를 2배로 늘리고 싶다면 진자의 길이를 4배로 늘리고, 주기를 3배로 늘리고 싶다면 진자의 길이를 9배로 늘리면 되겠다.