라그랑지안을 이용한 케플러 제2법칙 증명

케플러의 법칙이 무엇인가요?: 요하네스 케플러는 스승인 티코 브라헤의 꼼꼼한 자료를 물려받아 세 가지 법칙을 공식화했다. 그 법칙들은 각각 다음과 같다.

 

케플러 제1법칙: 모든 행성 궤도는 타원이며 태양은 두 초점 중 하나에 위치한다.

 

케플러 제2법칙: 행성과 태양을 연결하는 선분은 똑같은 시간 간격 동안 똑같은 넓이를 훑고 지나간다.

 

케플러 제3법칙: 공전 주기의 제곱은 궤도 반지름의 세제곱에 정비례한다.

 

제2법칙을 증명합니다: 라그랑지안을 이용해서 케플러 법칙(뉴턴이 증명한 것을 우리는 따라 하는 것이다.)을 증명할 것이다. 다만, 케플러 제1법칙을 논리적 비약 없이 증명하는 것은 꽤 수고스러운 일이라서 제2, 3법칙만 증명할 것이다. 그러면 케플러 제2법칙을 시작하자. 행성의 질량을 $m$, 행성이 태양에서 떨어진 거리를 $r$, 기준이 되는 지점으로부터 회전한 각을 $\theta$라 하자. 그러면 지난 글에서 확인할 수 있듯이 $\dfrac{d}{dt}\left(mr^2 \dot{\theta}\right)$ $=0$이다. 즉, $mr^2\dot{\theta}$ $=p_{\theta}$를 만족시키는 보존되는 각운동량 $p_{\theta}$가 존재한다.

 

충분히 작은 영역을 표시한 그림

 

유도과정은 쉽다: 반지름 벡터가 훑고 지나가는 넓이를 $A$라 하자. 그러면 짧은 시간 $\delta t$동안 훑고 지나가는 넓이는 $\delta A$로 표기할 수 있고, 변화한 각은 $\delta \theta$로 표기할 수 있다. 행성은 원궤도가 아니고 타원궤도를 돌고 있으므로 일반적으로 훑고 지나가는 영역이 부채꼴이라 할 수 없다. 하지만, $\delta A$가 충분히 작으면 부채꼴이라고 봐도 크게 틀리지 않다. 위의 그림을 참조한다. 부채꼴 공식은 $A=\dfrac{1}{2}r^2 \theta$이므로 $\delta A$ $=\dfrac{1}{2}r^2 \delta \theta$로 쓸 수 있겠다. 양변을 $\delta t$로 나눈다. 그러면 $\dfrac{\delta A}{\delta t}$ $=\dfrac{r^2}{2}\dfrac{\delta \theta}{\delta t}$이다. $\delta t$가 $0$에 충분히 가까워지면 미분의 정의에 의해서 $\dfrac{dA}{dt}$ $=\dfrac{r^2}{2}\dot{\theta}$이다. 그런데 우리는 각운동량 보존법칙에 의해서 $r^2 \dot{\theta}$ $= \dfrac{p_{\theta}}{m}$이라는 사실을 알았으므로 $\dfrac{dA}{dt}$ $=\dfrac{p_{\theta}}{2m}$이다. $p_{\theta}, m$은 둘 다 시간에 따라 변하지 않는 상수이다. 즉, $\dfrac{dA}{dt}$는 상수이다. 시간에 따른 넓이의 변화율이 상수라는 사실은 똑같은 시간 간격 동안 똑같은 넓이를 훑고 지나간다는 뜻이다. 즉, 케플러 제2법칙을 유도한 것이다. 추가로, 우리는 넓이가 변하는 속도가 각운동량에 비례한다는 것도 관찰할 수 있다.