도형의 회전이동

이 글을 읽기 위해서 필요한 지식: 점의 회전이동과 도형의 평행이동이 어떻게 유도되었는지 공부한 사람이라면, 도형의 회전이동도 어렵지 않은 주제다. 이번 글의 아이디어는 회전하는 관성계를 분석할 때 필요하므로, (많은 사람은 아니겠지만)이 글을 읽는다면 꼼꼼하게 읽는 것을 권장하는 바이다. 추가로 실제로 행렬을 조작함으로써 회전이동 시킨 도형의 방정식을 직접 구해보는 것도 꽤 쏠쏠한 재미가 있다.

 

모델링을 하자: 여기 $xy$평면에 도형 $C_1$이 놓여있다. 이 $C_1$을 기술하기 위해서 $f$를 빌려온다. $C_1:f(x,y)=0$로 쓰면 되겠다. 이제 이 도형을 $\theta$만큼 회전시키고, 새롭게 만들어진 도형을 $C_2$라 하자. 도형의 평행이동과 아이디어는 같다. 기준틀을 바꾸지 않으면 이 도형을 서술할 방법이 떠오르지 않으므로, 도형이 회전한 만큼 우리의 시선도 $\theta$만큼 회전시킨다. 그리고 이렇게 새롭게 설정된 좌표계를 $XY$좌표계라 하자. 도형이 돌아간 꼭 그만큼 우리의 시선도 회전시켰으므로 관찰할 수 있는 관계식은 같다. $C_2:f(X,Y)=0$으로 쓰면 되겠다.

 

도형의 회전이동, 시선을 돌려서 생각한다.

 

좌표계 사이의 관계에 주목한다: 그렇다면 우리가 생각해야 할 문제는 다음과 같다. '$xy$좌표계와 $XY$좌표계는 어떤 관계에 있을까?' 생각한다. $XY$평면에서 $(1,0{)}_{XY}$라고 부르는 점은 $xy$평면에서 보았을 때, $(1,0{)}_{xy}$를 반시계방향으로 $\theta$만큼 회전시킨 $(\cos \theta ,\sin \theta {)}_{xy}$이다. 마찬가지로 $XY$평면에서 $(0,1{)}_{XY}$라고 부르는 점은 $xy$평면에서 보았을 때, $(0,1{)}_{xy}$를 반시계방향으로 $\theta$만큼 회전시킨 $(-\sin \theta ,\cos \theta {)}_{xy}$이다. 이 논리를 일반화시키자. 공간에 임의의 점 $\mathrm{A}$가 있다. 이것을 $XY$평면 기준에서 보면 $\mathrm{A}(X,Y{)}_{XY}$로 칭할 수 있고, $xy$평면 기준에서 보면 $\mathrm{A}(x,y{)}_{xy}$로 칭할 수 있다. 즉, $(X,Y{)}_{XY}=(x,y{)}_{xy}$이다. 그리고 위의 논의를 끌고 오면, $XY$평면에서 $(X,Y{)}_{XY}$라고 부르는 점은 $xy$평면에서 보았을 때, $(X,Y{)}_{xy}$를 반시계방향으로 $\theta$만큼 회전시킨 점이다. 즉, $(x,y{)}_{xy}$는 $(X,Y{)}_{xy}$를 반시계방향으로 $\theta$만큼 회전시킨 점이다.

 

같은 점도 어떻게 보느냐에 따라 다르다.

 

다시 행렬로: 점의 회전이동을 이용한다. 반시계방향으로 $\theta$만큼 회전시켰을 때, 우리는 행렬을 이용하기로 했다. 그리고 그 식은 다음과 같다. $$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)\end{array}$$

 

우리는 $X,Y$를 $x,y$로 표현하고 싶으므로 위의 행렬을 그대로 쓸 수는 없고 역행렬을 양변에 곱해야 한다. 대수적으로 $2\times 2$행렬의 역행렬을 구하는 법은 다른 곳에서 충분히 찾아볼 수 있을 것이다. 대수적으로 역행렬을 곱하는 것이 귀찮으면 조금만 생각해도 괜찮다. $(x,y{)}_{xy}$는 $(X,Y{)}_{xy}$를 반시계방향으로 $\theta$만큼 회전시킨 점이니, 반대로 생각하면 $(X,Y{)}_{xy}$는 $(x,y{)}_{xy}$를 반시계방향으로 $-\theta$만큼 회전시킨 점이다. 즉, 계산 결과는 다음과 같다. $$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (-\theta )& -\sin (-\theta )\\ \sin (-\theta )& \cos (-\theta )\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{r}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\cos \theta +y\sin \theta \\ -x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}\right)\end{array}$$

 

결론은 무엇인가?: 그러므로 $C_2:f(X,Y)=0$는 $C_2:f(x\cos \theta +y\sin \theta ,-x\sin \theta +y\cos \theta )=0$로 작성하면 완성이다. 요약하자. 도형을 회전시킬 때는 원래 식을 $f(X,Y)=0$으로 전환하고, $X$위치에 $x\cos \theta +y\sin \theta$를 $Y$위치에 $-x\sin \theta +y\cos \theta$를 대입해서 정리하면 되겠다.

 

예시를 들어보자: 초점이 $x$축 위에 있고, 장축의 길이가 $6$, 단축의 길이가 $4$인 타원의 방정식은 ${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$로 쓸 수 있다. 이 도형을 반시계방향으로 ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$만큼 회전시킨다고 가정하자.

 

1. $f(x,y)=0$꼴로 정리한다: $C_1:4x^2+9y^2-36=0$이다.

2. $x,y$자리에 $X,Y$를 대입한다: $C_2:4X^2-9Y^2-36=0$이다.

3. $X$위치에 $x\cos \theta +y\sin \theta$를 $Y$위치에 $-x\sin \theta +y\cos \theta$를 대입한다: $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$이고, $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$이므로 $X$위치에는 ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}y$를 대입하고, $Y$위치에는 $-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}y$를 대입한다. 즉, $C_2:4{({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}y)}^2-9{(-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})}^2-36=0$이이다.

4. 식을 정리한다: 이 글을 이해할 수 있는 독자들은 충분히 계산이 숙달되었을 것이라 가정하고 결론만 제시한다. ${\displaystyle \frac{21}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}\sqrt{3}xy+{\displaystyle \frac{31}{4}}{y}^2-36=0$이다. 간단했던 식이 이렇게나 복잡해지니 믿기지 않겠지만 그래프 계산기를 이용해 그려보면 실제로 우리가 잘 회전시켰음을 눈으로 확인할 수 있다.