뉴턴의 제3법칙으로보는 운동량 보존의 법칙

운동량을 시간에 대해 미분하면 힘이 된다: 뉴턴의 제2법칙을 생각한다. $\vec{F}$ $=m\vec{a}$ 너무나 유명한 식이다. 그리고 한 가지 사실을 떠올린다. 위치함수를 시간에 대해 미분하면 속도함수가 되고, 속도함수를 시간에 대해 미분하면 가속도함수가 된다. 속도를 $\vec{v}$라고 하면 가속도 $\vec{a}$ $=\dot{\vec{v}}$이다. 마지막으로 한 가지만 더 떠올려본다. 운동량을 $\vec{p}$라 하면 정의에 의해 $\vec{p}$ $=m\vec{v}$이다. 이제 이 사실들을 결합한다. 운동량을 시간에 대해 미분하면 $\dot{\vec{p}}$ $=m\dot{\vec{v}}$ $=m\vec{a}$ $=\vec{F}$가 된다. 즉, 운동량의 시간에 대한 변화율이 곧 힘이다.

 

추상화하기 전에 간단한 예로 논리를 살핀다: 이제 재료 손질은 끝났다. 논의를 편하게 하기 위해서 구성 공간 안에 $4$개의 입자가 있다고 가정하자. 그리고 1번 입자에 작용하는 힘을 $\vec{F_1}$, 2번 입자에 작용하는 힘을 $\vec{F_2}$, 3번 입자에 작용하는 힘을 $\vec{F_3}$, 4번 입자에 작용하는 힘을 $\vec{F_4}$라 하자. 그리고 1번 입자가 1번 입자에 작용하는 힘을 $\vec{f_{11}}$, 2번 입자가 1번 입자에 작용하는 힘을 $\vec{f_{12}}$, 3번 입자가 1번 입자에 작용하는 힘을 $\vec{f_{13}}$, 4번 입자가 1번 입자에 작용하는 힘을 $\vec{f_{14}}$이라 하자. 그러면 $\vec{F_1}$ $=\vec{f_{11}}+\vec{f_{12}}+\vec{f_{13}}+\vec{f_{14}}$로 기술할 수 있다. 첫 문단에서 손질한 재료와 결합하면 $\dot{\vec{p_1}}$ $=\vec{f_{11}}+\vec{f_{12}}+\vec{f_{13}}+\vec{f_{14}}$이다.

 

계산하자!: 이제 모든 운동량의 변화율을 더할 것이다. 아래에 기술할 내용을 효과적으로 표현하기 위해서 표의 힘을 빌리자.

 

$\dot{\vec{p_1}}$	$=\vec{f_{11}}$	$+\vec{f_{12}}$	$+\vec{f_{13}}$	$+\vec{f_{14}}$
$\dot{\vec{p_2}}$	$=\vec{f_{21}}$	$+\vec{f_{22}}$	$+\vec{f_{23}}$	$+\vec{f_{24}}$
$\dot{\vec{p_3}}$	$=\vec{f_{31}}$	$+\vec{f_{32}}$	$+\vec{f_{33}}$	$+\vec{f_{34}}$
$\dot{\vec{p_4}}$	$=\vec{f_{41}}$	$+\vec{f_{42}}$	$+\vec{f_{43}}$	$+\vec{f_{44}}$

 

그리고 성분들을 분석한다. 당연한 말이지만 자기 자신에게 작용하는 힘은 $0$이다. $\vec{f_{11}}$ $=\vec{f_{22}}$ $=\vec{f_{33}}$ $=\vec{f_{44}}=0$이다. 그리고 뉴턴의 제3법칙 작용-반작용 법칙에 의해서 서로에게 작용하는 힘은 크기가 같고 부호가 다르다. 즉, $i \ne j$이면 $\vec{f_{ij}}$ $=-\vec{f_{ji}}$이다. 예를 들면 $\vec{f_{21}}$ $=-\vec{f_{12}}$이 된다는 뜻이다. 그러면 이 사실을 이용해서 위의 표를 깔끔하게 정리할 수 있다.

 

$\dot{\vec{p_1}}$	$=0$	$+\vec{f_{12}}$	$+\vec{f_{13}}$	$+\vec{f_{14}}$
$\dot{\vec{p_2}}$	$=-\vec{f_{12}}$	$+0$	$+\vec{f_{23}}$	$+\vec{f_{24}}$
$\dot{\vec{p_3}}$	$=-\vec{f_{13}}$	$-\vec{f_{23}}$	$+0$	$+\vec{f_{34}}$
$\dot{\vec{p_4}}$	$=-\vec{f_{14}}$	$-\vec{f_{24}}$	$-\vec{f_{34}}$	$+0$

 

결론은 무엇인가?: 그러면 이 모든 것을 더했을 때, 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 대각선을 기준으로 각각의 값이 소거가 되어 $\dot{\vec{p_1}}+\dot{\vec{p_2}}+\dot{\vec{p_3}}+\dot{\vec{p_4}}$ $=0$이 된다. 즉, 모든 입자의 운동량의 변화율을 합하면 $0$이 된다. 운동량의 변화율이 $0$이므로, 다시 적분한 운동량은 상수이다. 시간이 지나도 운동량이 보존된다는 뜻이다. 바로 $n$개의 입자를 다루면 소거가 되는 것을 눈으로 보기 힘드므로 부득이하게 $4$개의 입자를 기준으로 계산했다. 하지만, 이 논리는 $n$개의 입자에 대해서도 마찬가지로 적용할 수 있다. 식으로 표현하면 $\displaystyle{\sum\limits_i{\dot{\vec{p_i}}}}$ $=\displaystyle{\sum\limits_i}\displaystyle{\sum\limits_j{\vec{f_{ij}}}}$ $=0$이고, $\displaystyle{\sum\limits_i{\vec{p_i}}}(t)$ $\equiv{C}$(단, $C$는 상수)이다.